Obsah

• kroky
• Tipy

Pre tých, ktorí majú problémy s matematikou, videnie symbolu druhej odmocniny môže spôsobiť zimnicu. Problémy týkajúce sa tohto operátora však nie sú také zložité, ako sa javia. Niekedy môžu byť jednoduché problémy s druhou odmocninou také jednoduché ako jednoduché množenie alebo delenie. Na druhej strane komplikovanejšie problémy môžu byť viac práce. Napriek tomu so správnym prístupom budú všetci vyzerať ľahko. Začnite cvičiť problémy s druhou odmocninou a naučte sa túto novú matematickú zručnosť radikálnej!

kroky

Časť 1 z 3: Porozumieť pojmu druhá a druhá odmocnina

1. 

   Predtým, ako pochopíte druhú odmocninu, najprv pochopte, čo je druhá mocnina čísla. Je ľahké porozumieť. Ak chcete číslo umocniť, jednoducho ho vynásobte. Napríklad 3 štvorce sú rovnaké ako 3 × 3 = 9 a 9 štvorcov je rovnaké ako 9 × 9 = 81. Štvorčeky sú označené malým „2“ v pravej hornej časti čísla, ktoré sa má zvýšiť, takto: 3, 9, 100 a tak ďalej.
   • Ak chcete tento koncept precvičiť, pokúste sa o štvorček viac. Pamätajte, že zarovnanie čísla ho jednoducho vynásobí. Môžete to urobiť aj so zápornými číslami, ale nezabudnite, že v tomto prípade bude odpoveď vždy kladná. Napríklad -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Ak chcete nájsť druhú odmocninu, nájdite „inverziu“ potenciácie. Koreňový symbol (√, tiež nazývaný „radikál“) v podstate znamená „opak“ symbolu. Keď vidíte radikál, spýtajte sa sami seba: „Aké číslo môžem vynásobiť samo o sebe, aby výsledkom bolo číslo v radikáli?“ Napríklad, keď uvidíte √ (9), skúste nájsť číslo, ktoré je na druhú, sa rovná deviatke. V takom prípade bude odpoveď tripretože 3 = 9.
   • Ďalší príklad: nájdeme druhú odmocninu 25 (√ (25)). To znamená, že musíme nájsť číslo, ktoré sa na druhú stranu rovná 25. Pretože 5 = 5 × 5 = 25, môžeme povedať, že √ (25) = 5.
   • Túto operáciu môžete tiež považovať za spôsob „zrušenia“ štvorcovej výšky. Napríklad, ak potrebujeme nájsť √ (64), druhú odmocninu 64, mali by sme uvažovať o 64 ako 8. Pretože druhá odmocnina v podstate „ruší“ druhú mocninu, môžeme povedať, že √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Pochopte rozdiel medzi dokonalými štvorcovými číslami a nedokonalými štvorcovými číslami. Doteraz boli odpovede na naše problémy s druhou odmocninou celé čísla. Nestane sa to vždy. Výsledkom radiačnej operácie môže byť niekedy dlhé, komplikované desatinné miesto. Ak je koreň čísla celé číslo, to znamená, že ak nie je zlomkom alebo desatinnou čiarkou, bude sa volať perfektné námestie, Všetky príklady uvedené vyššie (9, 25 a 64) sú dokonalými štvorcami, pretože ich korene sú celé čísla (3, 5 a 8).
   • Na druhej strane sa volajú čísla, ktorých korene nie sú celé nedokonalé štvorce, Pri výpočte koreňa jedného z týchto čísel získame výsledok, ktorý bude obyčajne zlomok alebo desatinné miesto. Niekedy môžu byť desatinné čísla dosť zložité, ako v príklade: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Zapamätajte si najmenej prvých 12 dokonalých štvorcov. Ako sme ukázali, výpočet druhej odmocniny čísla môže byť veľmi jednoduchý! Je preto dôležité venovať si čas na zapamätanie druhých koreňov prvých desiatok dokonalých štvorcov. Majú tendenciu sa na testoch objavovať veľa, takže ich zapamätanie vám môže ušetriť veľa času. Prvých 12 dokonalých štvorcov je:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Ak je to možné, zjednodušte korene odstránením dokonalých štvorcov. Nájdenie druhej odmocniny nedokonalých štvorcov môže byť dosť zložité, najmä ak nie je k dispozícii kalkulačka (v sekciách nižšie sa dozviete triky na zjednodušenie procesu). Niekedy je však možné zjednodušiť čísla vnútri koreňa, aby sa zjednodušili výpočty. Stačí rozdeliť číslo vnútri koreňa na faktory, potom vypočítať koreň faktorov, ktoré sú dokonalými štvorcami, a napísať odpoveď mimo radikálu. Je to jednoduchšie, ako to vyzerá. Pozrite si nižšie, aby ste lepšie porozumeli!
   • Povedzme, že musíte nájsť koreň 900. Spočiatku sa to zdá byť dosť náročná úloha! Všetko je oveľa jednoduchšie, ak 900 rozdelíme na faktory. Faktory čísla „x“ sú množiny čísel, ktoré, ak sú vynásobené, vedú k číslu „x“. Napríklad, môžeme získať 6 vynásobením 1 × 6 a 2 × 3, takže faktory 6 sú 1, 2, 3 a 6.
   • Namiesto toho, aby sme pracovali s 900, čo môže byť trochu divné, napíšme ho namiesto 9 × 100. Teraz, keď je 9, čo je dokonalý štvorec, oddelené od 100, môžeme vypočítať jeho druhú odmocninu. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). To znamená, √ (900) = 3√(100).
   • Stále sa môžeme ešte dvakrát zjednodušiť rozdelením 100 na faktory 25 a 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Môžeme teda povedať, že √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Na výpočet koreňa záporných čísel použite imaginárne čísla. Spýtajte sa sami seba, ktoré číslo vynásobené týmto výsledkom vedie k -16? Nie je to 4 alebo -4, pretože druhá mocnina týchto dvoch čísel je 16. Mali by sme sa vzdať? V skutočnosti neexistuje spôsob, ako napísať druhú odmocninu -16 alebo akékoľvek iné záporné číslo pomocou iba reálnych čísel. V takýchto prípadoch musíme použiť pomyselné čísla (zvyčajne vo forme písmen alebo symbolov), aby sme nahradili druhú odmocninu záporného čísla. Premenná "i" sa napríklad používa na označenie druhej odmocniny -1. Vo všeobecnosti bude koreň záporného čísla vždy predstavovať (alebo aspoň obsahovať) imaginárne číslo.
   • Pamätajte, že hoci imaginárne čísla nemôžu predstavovať skutočné čísla, stále sa s nimi dá nejakým spôsobom zaobchádzať. Napríklad, koreň záporného čísla „-x“, ak je uvedený na druhú, má tiež za následok „-x“, rovnako ako akýkoľvek iný koreň. To znamená, že i = -1

Časť 2 z 3: Použitie metód podobných dlhému rozdeleniu

1. 

   Zaobchádzajte s problémom druhej odmocniny, akoby to bolo dlhé rozdelenie. Napriek tomu, že je to trochu namáhavé, môžete nájsť druhú odmocninu komplikovaných nedokonalých štvorcových čísel bez použitia kalkulačky. Metóda (alebo algoritmus) je podobná (ale nie rovnaká) ako metóda dlhého delenia. Dlhé delenie je tradičná metóda použitá na výpočet rozdelenia ručne.
   • Začnite s počiatočným umiestnením problému, ktorý bude podobný ako pri dlhom rozdelení. Napríklad povedzme, že musíte nájsť koreň 6,45, čo určite nie je dokonalý štvorec. Najprv napíšeme druhú odmocninu (√) a potom do nej vložíme číslo. Potom musíme urobiť rysku od symbolu √, kým nezakryje celé číslo, a ponechať ju v rámčeku podobnom tomu, kde je delič s dlhým delením. Rozdiel je v tom, že tu bude odpoveď nad týmto rámčekom, nie pod ním, ako v tradičnom rozdelení. Keď skončíme, budeme mať podlhovastú značku „,“ pokrývajúcu celé číslo 6,45.
   • Do tohto políčka napíšeme čísla, takže nechajte medzeru.

2. 

   Zoskupte číslice do párov. Ak chcete začať riešiť problém, zoskupte číslice čísla vnútri kmeňa v pároch, počnúc desatinnou čiarkou. Medzi pármi môžete urobiť malé označenia (napríklad bodky, čiarky, čiarky atď.), Aby ste ich oddelili.
   • V našom príklade by sme mali rozdeliť 6,45 na tri páry, ako je tento: 6-,45-00, Vidíte, že na ľavej strane je jedna menšia číslica, s tým nie je žiadny problém.

3. 

   Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo sa rovná hodnote prvej „skupiny“. Začnite s prvou dvojicou čísel na ľavej strane. Vyberte najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovnaký ako „skupina“. Ak je napríklad skupina 37, vyberte 6, pretože 6 = 36 <37, ale 7 = 49> 37. Toto číslo napíšte nad prvú skupinu. Toto je prvá číslica odpovede.
   • V našom príklade je prvá skupina v 6-, 45-00 6. Prvé najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný 6, je 2, pretože 2 = 4. Napíšte 6 za 6, ktoré sú vo vnútri radikálu.

4. 

   Pozrite sa na prvú číslicu odpovede (číslo, ktoré sme práve našli) a vynásobte ju dvoma. Teraz napíšte výsledok pod prvú skupinu a vykonaním odčítania nájdite rozdiel. Potom prejdite nadol na nasledujúci pár čísel a pridajte ich k rozdielu, ktorý sme práve našli. Nakoniec napíšte poslednú číslicu dvojnásobku prvej číslice odpovede na ľavú stranu a nechajte vedľa nej medzeru.
   • V našom príklade by prvým krokom bolo nájsť dvojité číslo 2, čo je prvá číslica odpovede. 2 × 2 = 4. Potom musíme odpočítať 4 od 6 (naša prvá „skupina“) a získať 2 ako odpoveď. Teraz musíme ísť nadol do ďalšej skupiny (45), aby sme dostali 245. Nakoniec napíšeme 4 znovu doľava a na pravej strane ponecháme malé medzeru, ako je toto: 4_.

5. 

   Vyplň prázdne. Teraz musíme vložiť číslicu namiesto medzery vedľa čísla, ktoré napíšeme naľavo. Vyberte číslicu, ktorá, ak je vynásobená číslom vľavo a prázdnym miestom je nahradená samotnou, má maximálnu hodnotu, ale je nižšia ako číslo na pravej strane. Môže sa to zdať trochu komplikované, preto si ukážme niekoľko príkladov, ktoré je potrebné pochopiť. Ak je číslo, ktoré zostúpilo, tj číslo na pravej strane, 1700 a číslo napravo 40_, vyplnili by sme prázdne číslo 4, pretože 404 × 4 = 1616 <1700 a 405 × 5 = 2025 Číslo nájdené v tomto kroku bude druhá číslica odpovede, takže ju môžete pridať nad symbol stonky.
   • V našom príklade musíme nájsť číslo, ktoré sa má vyplniť medzerou v 4_ × _, čím je odpoveď čo najväčšia, ale menšia alebo rovná 245. V našom prípade je odpoveď 5pretože 45 × 5 = 225 a 46 × 6 = 276.

6. 

   Na vytvorenie odpovede použite čísla, ktoré vyplnia medzery. Pokračujte v tejto modifikovanej metóde dlhého delenia, až kým nezačnete nula odpočítaním čísla, ktoré zostupuje od radikálu, alebo kým nedosiahnete požadovanú úroveň presnosti. Po dokončení budú číslice použité na vyplnenie medzier v každom kroku (a samozrejme prvé číslo, ktoré použijeme), tvoriť číslice odpovedí.
   • V nasledujúcom príklade by sme odpočítali 225 z 245 na 20. Potom by sme šli dolu dvoma číslicami 00, aby sme dostali 2000. Zdvojnásobením čísel nad radikálom máme 25 × 2 = 50. Nastavením počtu blanku na 50_ × _ = / <2 000, dostaneme 3, V tomto bode máme o radikáli „253“. Opakovaním tohto postupu dostaneme 9 ako ďalšiu číslicu.

7. 

   Do odpovede vložte čiarku na správne miesto. Aby sme dokončili odpoveď, stále musíme umiestniť desatinnú čiarku na správne miesto. Táto časť je jednoduchá: stačí dať čiarku do odpovede na rovnaké miesto ako čiarka v čísle vnútri radikálu. Napríklad, ak je číslo vo vnútri radikálu 49,8, tak do odpovede odpovedzte čiarkou na miesto, ktoré zodpovedá číslu uvedenému nižšie, tj medzi dve čísla nad 9 a 8.
   • V našom príklade je číslo v radikále 6,45. Ak chcete získať odpoveď, jednoducho vložte čiarku medzi čísla nad 6 a 4, v tomto prípade 2 a 5, aby ste dostali odpoveď: 2,539.

Časť 3 z 3: Rýchly odhad nedokonalých štvorcov

1. 

   Odpoveď nájdete pomocou odhadu. Akonáhle budete poznať koreň niektorých dokonalých štvorcov, nájdenie koreňa nedokonalých štvorcov bude oveľa jednoduchšie. V predchádzajúcom kroku odporúčame zapamätať si najmenej prvých dvanásť dokonalých štvorcov a ich korene. Dobrou správou je, že tento odhad môžeme použiť na získanie aproximácie koreňa nedokonalého štvorca, ktorý je medzi dvoma dokonalými štvorcami, ktoré poznáme. Z tohto dôvodu musíme nájsť prvý dokonalý štvorec väčší ako požadované číslo a posledný menší štvorec, aby sa dané číslo nachádzalo medzi týmito dvoma. Potom sa musíme pokúsiť zistiť, ku ktorému z týchto dvoch dokonalých štvorcov je najbližšie koreň požadovaného čísla.
   • Predpokladajme napríklad, že musíme nájsť druhú odmocninu 40. Keďže si pamätáme naše dokonalé štvorce, môžeme povedať, že 40 je medzi 6 a 7, to znamená medzi 36 a 49. Pretože 40 je väčšie ako 6, jeho druhá odmocnina bude väčšie ako 6. Rovnako tak, pretože je menšie ako 7, jeho koreň bude menší ako 7. 40 je o niečo bližšie k 36 ako 49, takže naša odpoveď bude pravdepodobne bližšia k 6. V nasledujúcich krokoch , zvýšime presnosť nášho odhadu.

2. 

   Zvýšte presnosť na jedno desatinné miesto. Keď nájdete dva po sebe idúce perfektné štvorce, ktoré tvoria rozsah, ktorý obsahuje vaše číslo, skúste zvýšiť presnosť odhadu na bod, ktorý považujete za uspokojivý. Čím viac pokusov o zlepšenie odhadu, tým väčšia presnosť. Na začiatok odhadnite hodnotu prvého desatinného miesta. Tento odhad nemusí byť správny, ale použitie logiky na výber hodnoty, ktorá bude pravdepodobne najbližšie k odpovedi, tento proces uľahčí.
   • V našom príklade by mohol byť prijateľný odhad druhej odmocniny 40 6,4, pretože už vieme, že odpoveď je pravdepodobne o niečo bližšia k 6 ako 7.

3. 

   Vynásobte odhad sám. Ak nebudete mať veľké šťastie, výsledkom nebude štartové číslo (40, v našom príklade). Budete musieť upraviť odhad, aby ste sa dostali bližšie k správnej odpovedi.Ak je výsledok nad počiatočným číslom (tj nad 40), skúste nižší odhad. Podobne, ak je výsledok pod požadovaným počtom, zvýšte odhad.
   • Samotným násobením 6,4 získate 6,4 × 6,4 = 40,96, čo je o niečo vyššie ako naše pôvodné číslo.
   • Keďže náš odhad bol tesne nad správnou hodnotou, znížime ho o jednu desatinu, aby sme dostali 6,3 × 6,3 = 39,69, Teraz bol výsledok o niečo nižší ako naše pôvodné číslo. To znamená, že koreň 40 je nejaké číslo medzi 6,3 a 6,4, Ďalej, keďže 39,69 je bližšie k 40 ako 40,96, vieme, že koreň bude bližšie k 6,3, nie 6,4.

4. 

   V prípade potreby pokračujte v zlepšovaní odhadu. Ak ste s odpoveďou spokojní, v tomto okamihu použite ako odhad iba jednu z prvých aproximácií. Ak však potrebujete presnejšiu odpoveď, skúste odhadnúť druhé desatinné miesto, výber hodnoty medzi predchádzajúcimi dvoma (to je, medzi 6,3 a 6,4). Pomocou tejto metódy môžeme odhadnúť tri desatinné miesta, štyri, päť atď., V závislosti iba od presnosti požadovanej pre odpoveď.
   • V našom príklade si môžeme zvoliť 6,33, aby sme urobili náš odhad na dve desatinné miesta. Samotným násobením 6.33 sa získa 6,33 × 6,33 = 40,0689. Keďže tento výsledok bol mierne nad našim pôvodným číslom, môžeme zvoliť mierne nižšiu hodnotu, napríklad 6,32. V tomto prípade 6,32 × 6,32 = 39,9424, výsledok mierne pod štartovým číslom. Preto môžeme konštatovať, že presný koreň 40 je medzi 6,32 a 6,33, V prípade potreby by sme mohli pokračovať v tejto metóde, aby sme získali čoraz presnejšie priblíženia ku koreňu požadovaného čísla.

Tipy

• Ak potrebujete rýchlu opravu, použite kalkulačku. Väčšina moderných kalkulačiek dokáže okamžite vypočítať odmocniny. Spravidla zadajte ľubovoľné číslo a stlačte tlačidlo so symbolom druhej odmocniny. Ak napríklad chcete nájsť koreň 841, stačí stlačiť 8, 4, 1 a potom (√) a získať odpoveď: 39.