Obsah

• Kroky
• Tipy

Racionálny výraz pozostáva z zlomku obsahujúceho jednu alebo viac premenných v čitateli alebo menovateli. Jeden rovnica racionálna je akákoľvek rovnica zahŕňajúca aspoň jeden racionálny výraz. Rovnako ako v normálnych algebraických rovniciach, racionálne rovnice sa riešia vykonávaním rovnakých operácií na oboch stranách, až kým nebude premenná izolovaná na jednej strane znamienka rovnosti. Na izolovanie premenných a riešenie racionálnych rovníc sú mimoriadne užitočné najmä dve techniky, multiplikácia a najmenší spoločný deliteľ.

Kroky

Metóda 1 z 2: Krížové násobenie

1. 

   Ak je to potrebné, usporiadajte rovnicu tak, aby mala zlomok na každej strane znamienka rovnosti. Krížové násobenie je rýchla a ľahká metóda riešenia racionálnych rovníc. Táto metóda bohužiaľ funguje iba na racionálnych rovniciach obsahujúcich presne jeden racionálny výraz alebo zlomok na každej strane znaku rovnosti. Ak rovnica nie je vo formáte vhodnom na krížové násobenie, bude pravdepodobne potrebné vykonať niektoré algebraické operácie na presun výrazov na príslušné miesta.
   • Napríklad rovnicu (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 je možné ľahko preskupiť vo formáte krížového násobenia a pridať x / (- 2) na obe strany rovnice, čo bude mať za následok ( x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Majte na pamäti, že desatinné miesta a celé čísla je možné vkladať ako zlomok tak, že im dáte menovateľ 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, napríklad to možno zapísať ako (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, čím je platné pre krížové násobenie.
   • Niektoré racionálne rovnice nemožno ľahko redukovať na formát, ktorý má iba zlomok alebo racionálny výraz na každej strane znaku rovnosti. V takýchto prípadoch použite prístup najmenšieho spoločného deliteľa.

2. 

   
   
   Kríž sa znásobí. Táto metóda predpokladá iba vynásobenie čitateľa zlomku menovateľom druhého a naopak. Vynásobte čitateľa zlomku naľavo od znamienka rovnosti menovateľom zlomku napravo. Opakujte postup s čitateľom zlomkov vpravo a menovateľom zlomku zľava.
   • Krížové násobenie funguje podľa základných princípov algebry. Racionálne výrazy a ďalšie zlomky je možné transformovať na nefrakcie vynásobením ich menovateľmi. Krížové násobenie je v podstate skratka na vynásobenie oboch strán rovnice ich príslušnými menovateľmi. Ťažké uveriť? Urobte si test - po zjednodušení získate rovnaké výsledky.

3. 

   
   
   Spojte dva produkty. Po multiplikácii budete mať dva výsledné produkty. Vyrovnajte obidve a zjednodušte výraz tak, aby každá strana rovnice mala jednoduchšie výrazy.
   • Napríklad, ak bol pôvodný racionálny výraz (x + 3) / 4 = x / (- 2), po krížovom násobení sa nová rovnica bude rovnať -2 (x + 3) = 4x. Ak je to žiaduce, môže byť tiež napísaný ako -2x - 6 = 4x.

4. 

   
   
   Vyriešte premennú. Na vyriešenie problému s premennou v rovnici použite algebraické operácie. Pamätajte, že ak sa x objaví na oboch stranách rovnakého znamienka, budete musieť sčítať alebo odčítať x výrazov na oboch, aby ste dostali x výrazov iba na jednom z nich.
   • V našom príklade môžeme rozdeliť obe strany rovnice (-2), výsledkom čoho bude x + 3 = -2x. Odčítaním x od oboch strán nám dáme 3 = -3x. Nakoniec, keď obe strany vydelíme -3, budeme mať -1 = x, čo môžeme prepísať na x = -1. Hodnotu x nájdeme riešením našej racionálnej rovnice.

Metóda 2 z 2: Nájdenie najmenej spoločného deliteľa (LCD)

1. 

   Vedzte, kedy je vhodné použiť najmenej spoločného deliteľa. Na zjednodušenie racionálnej rovnice, ktorá umožňuje riešenie existujúcich premenných, je možné použiť najmenší spoločný deliteľ (LCD). Nájsť LCD je dobrý nápad, keď racionálnu rovnicu nemožno ľahko napísať s jedným (a iba jedným) zlomkom alebo racionálnym výrazom na každej strane znamienka rovnosti. Na riešenie racionálnych rovníc s dvoma alebo viacerými výrazmi môže byť LCD displej veľmi užitočným nástrojom. Avšak na vyriešenie racionálnych rovníc iba s dvoma členmi môže byť krížové násobenie rýchlejšie.

2. 

   Preskúmajte menovateľ každej frakcie. Určte najmenšie číslo, ktorým možno každého menovateľa rozdeliť. Bude to LCD rovnice.
   • Niekedy je celkom zrejmý najnižší spoločný menovateľ - teda najmenšie číslo, ktoré má ako faktor každého z existujúcich menovateľov. Napríklad ak je výraz x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, netreba veľa, aby ste si uvedomili, že najmenšie číslo obsahujúce ako faktor 3, 2 a 6 je v skutočnosti 6.
   • Napriek tomu často nie je LCD racionálnej rovnice okamžite zrejmý. V takýchto prípadoch skúste preskúmať násobky najvyššieho menovateľa, kým nenájdete ten, ktorý obsahuje všetky najnižšie menovatele ako faktor. V mnohých prípadoch je LCD násobkom dvoch menovateľov. Napríklad v rovnici x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9 sa hodnota GCD rovná 8 × 9 = 72.
   • Ak jeden alebo viac menovateľov zlomkov obsahuje premennú, proces sa stáva komplikovanejším, ale nie nemožným. V takýchto prípadoch bude LCD displej výrazom (obsahujúcim premenné), ktorým je možné rozdeliť všetky menovatele, namiesto jedného čísla. Napríklad v rovnici 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) sa LCD rovná 3x (x-1), pretože každý menovateľ je týmto výrazom rovnako vydelený - vydeľte ho (x -1) má za následok 3x, delením 3x výsledkom je (x-1) a delením x je výsledkom 3 (x-1).

3. 

   Vynásobte každú frakciu v racionálnej rovnici jednou. Vynásobenie každého výrazu číslom 1 sa môže javiť ako zbytočné. Existuje však trik. Číslo 1 je možné definovať ako akékoľvek číslo delené samostatne - napríklad 2/2 a 3/3 sú tiež platné spôsoby zápisu „1“. Táto metóda využíva výhody tejto alternatívnej definície. Vynásobte každú frakciu v racionálnej rovnici číslom 1 tak, že napíšete číslo 1, aby vynásobiteľné číslo alebo výraz s menovateľom vyústili do samotného LCD.
   • V našom základnom príklade vynásobíme x / 3 2/2, aby sme dostali 2x / 6, a vynásobíme 1/2 x 3/3, aby sme dostali 3/6. 3x + 1/6 už má ako menovateľ 6, teda LCD. Môžeme to teda vynásobiť 1/1 alebo nechať tak, ako sú.
   • V našom príklade s premennými v menovateľoch našich zlomkov je proces trochu komplikovanejší. Pretože GCD sa rovná 3x (x-1), vynásobíme každý racionálny výraz výrazom, ktorým sa vynásobí, výsledkom čoho bude 3x (x-1) nad sebou. Takto vynásobíme 5 / (x-1) číslom (3x) / (3x), aby sme získali 5 (3x) / (3x) (x-1), vynásobíme 1 / x 3 (x-1) / 3 (x -1) pre získanie (3 (x-1) / 3x (x-1) a vynásobenie 2 / (3x) s (x-1) / (x-1) pre získanie 2 (x-1) / 3x (x -1).

4. 

   Zjednodušte a vyriešte x. Teraz, keď majú všetky členy v racionálnej rovnici rovnakého menovateľa, môžete vylúčiť menovatele z rovnice a vyriešiť čitateľa. Jednoducho vynásobte obe strany rovnice, aby ste získali izolovaných čitateľov. Ďalej pomocou algebraických operácií získajte x (alebo ľubovoľnú inú premennú, ktorú chcete vyriešiť) izolovane na jednej strane znamienka rovnosti.
   • V našom základnom príklade po vynásobení každého člena striedaním tvarov 1 dostaneme 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Dve zlomky možno spojiť, ak majú rovnakého menovateľa, aby sme mohli túto rovnicu zjednodušiť ako (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 bez zmeny jej hodnoty. Vynásobte obe strany číslom 6, aby ste zrušili menovatele, čo nám ponechá 2x + 3 = 3x + 1. Odčítaním 1 od oboch strán získate 2x + 2 = 3x a odčítaním 2x od oboch strán získate 2 = x, čo je možné zapísať ako x = 2.
   • V našom príklade s premennými v menovateľoch sa naša rovnica po vynásobení každého výrazu „1“ rovná 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Vynásobenie každého výrazu MDC nám umožňuje zrušiť menovatele, čo má za následok 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Toto funguje aj na 15x = 3x - 3 + 2x - 2, čo je možné zjednodušiť na 15x = x - 5. Odčítaním x od oboch strán vznikne 14x = -5, čo sa nakoniec zjednoduší na x = -5 / 14.

Tipy

• Po vyriešení príslušnej premennej skontrolujte odpoveď zadaním hodnoty v pôvodnej rovnici. Ak získate správny výsledok, bude možné pôvodnú rovnicu zjednodušiť na jednoduchý a platný výrok, napríklad 1 = 1.
• Upozorňujeme, že ľubovoľný polynóm môžete napísať ako racionálny výraz; stačí ho umiestniť nad menovateľ „1“. Týmto spôsobom budú mať x + 3 a (x + 3) / 1 rovnakú hodnotu, ale druhý sa považuje za racionálny výraz, pretože sa píše ako zlomok.