Obsah

• kroky
• Tipy

Matematici a grafickí programátori často musia nájsť uhol medzi dvoma vektormi. Našťastie vzorec použitý na výpočet tohto uhla nevyžaduje nič viac ako jednoduchý skalárny produkt. Hoci odôvodnenie tohto vzorca je ľahšie pochopiteľné, keď sa používajú dvojrozmerné vektory, môžeme ho ľahko prispôsobiť vektorom s ľubovoľným počtom komponentov.

kroky

Časť 1 z 2: Vypočítajte uhol medzi dvoma vektormi

1. 

   Identifikujte dva vektory. Zapíšte si všetky známe informácie o týchto dvoch vektoroch. Na účely tohto tutoriálu predpokladáme, že vektory poznáte len z hľadiska ich rozmerových súradníc (nazývaných tiež komponenty). Ak už poznáte modul alebo standard z týchto vektorov (to znamená ich dĺžka), môžete preskočiť niektoré z nasledujúcich krokov.
   • Príklad: vezmeme do úvahy dvojrozmerné vektory = (2,2) a = (0,3). Tieto dva vektory sa môžu prepísať ako = 2ja + 2j e = 0ja + 3j = 3j.
   • Aj keď náš príklad používa dva dvojrozmerné vektory, nasledujúce pokyny môžeme použiť na vektory s ľubovoľným počtom komponentov.

2. 

   
   
   Napíšte kosínusov vzorec. Aby sme našli hodnotu uhla 9 medzi akýmikoľvek dvoma vektormi, musíme najprv vypočítať kosínus tohto uhla. Vzorec môžete vyhľadať a zistiť podrobne alebo jednoducho napísať takto:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| predstavuje modul (alebo dĺžka) vektora ".
   • • predstavuje skalárny produkt (alebo interný produkt) týchto dvoch vektorov.

3. 

   
   
   Vypočítajte modul každého vektora. Predstavte si pravouhlý trojuholník tvorený komponentom X vektora, jeho zložky y a samotný vektor. V tomto trojuholníku hrá vektor úlohu preponu; preto, aby sme našli jeho dĺžku, použijeme Pythagorovu vetu. Výsledkom je, že tento vzorec je ľahko aplikovateľný na vektory s ľubovoľným počtom komponentov.
   • || u || = u₁ + u₂, Ak má vektor viac ako dve komponenty, pokračujte v pridávaní + u₃ + u₄ +...
   • Preto pre dvojrozmerný vektor budeme musieť || u || = √ (u₁ + u₂).
   • V našom príklade |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Vypočítajte skalárny produkt medzi dvoma vektormi. Mali by ste už poznať metódu množenia vektorov, nazývanú tiež skalárny produkt, Aby sme vypočítali skalárny produkt dvoch vektorov z hľadiska ich zložiek, vynásobíme komponenty v rovnakom smere spolu a potom pridáme výsledky týchto produktov.
   • Ak pracujete s počítačovými grafickými programami, skôr ako budete pokračovať, najskôr navštívte sekciu Tipy.
   • Z matematického hľadiska • = u₁proti₁ + u₂proti₂, kde u = (u₁, u₂). Ak má váš vektor viac ako dve komponenty, pokračujte v pridávaní + u₃proti₃ + u₄proti₄...
   • V našom príklade • = u₁proti₁ + u₂proti₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6, Toto je hodnota skalárneho produktu medzi vektormi a.

5. 

   Tieto výsledky sa nahradia kosínovou formuláciou. Nezabudnite, cosθ = (•) / (|||| || ||). Vypočítali sme skalárny produkt a modul týchto dvoch vektorov. Teraz nahradme tieto hodnoty vo vzorci a vypočítame kosínus uhla.
   • V našom príklade cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Nájdite uhol na základe kosínu.
   Pomocou funkcie oblúka alebo cos kalkulačky určte uhol θ od hodnoty kosínu. V niektorých prípadoch je možné nájsť hodnotu uhla na základe kruhu jednotky.
   • V našom príklade cosθ = √2 / 2. Ak chcete nájsť uhol, do kalkulačky napíšte „arccos (√2 ​​/ 2)“. Ďalšou možnosťou je hľadať uhol θ kruhovej jednotky, kde cosθ = √2 / 2: toto bude platiť pre θ = /₄ alebo 45 °.
   • Zložením všetkých informácií budeme mať konečný vzorec θ = arkozín ((•) / (|||| || ||))

Časť 2 z 2: Definovanie vzorca na výpočet uhla

1. 

   Pochopiť účel vzorca. Vzorec, ktorý sme použili na výpočet uhla medzi dvoma vektormi, nebol odvodený z už existujúcich pravidiel; Namiesto toho bol vytvorený ako definícia skalárneho produktu medzi dvoma vektormi a uhla medzi nimi. Toto rozhodnutie však nie je svojvoľné. Pri bližšom pohľade na základnú geometriu vidíme, prečo tento vzorec vedie k takým užitočným a intuitívnym definíciám.
   • Nasledujúce príklady využívajú dvojrozmerné vektory, pretože sú najintuitívnejším typom, s ktorým možno pracovať. Vektory troch alebo viacerých dimenzií majú svoje vlastnosti definované zo všeobecného vzorca (tiež veľmi podobným spôsobom).

2. 

   Prečítajte si kosínsky zákon. V ktoromkoľvek trojuholníku zvážte uhol 9 tvorený stranami a B a zo strany ç oproti tomuto uhlu. Podľa kosínskeho zákona je c = a + b -2abopasok(Θ). Preukázanie tohto vzorca možno ľahko získať na základe znalosti základnej geometrie.

3. 

   Spojte dva vektory a vytvorte trojuholník. Nakreslite pár vektorov a medzi nimi uhol 9. Potom medzi nimi nakreslite tretí vektor a vytvorte trojuholník. Inými slovami, nakreslite vektor tak, že + = alebo jednoducho = -.

4. 

   Na tento trojuholník použite kosínus zákon. Vymeňte dĺžku našich strán vektorový trojuholník (tj vektorový modul) vo vzorci kosínskeho zákona:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||opasok(θ)

5. 

   Prepíšte vzorec pomocou skalárnych produktov. Pamätajte, že bodový produkt je zväčšením jedného vektora premietaného na iný. Skalárny produkt samotného vektora nevyžaduje projekciu, pretože nedochádza k zmene smeru. To znamená, že • = || a ||. Na základe týchto informácií prepíšme rovnicu kosínskeho zákona:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||opasok(θ)

6. 

   Zjednodušte vzorec. Rozbaľte produkty na ľavej strane rovnice a potom ich zjednodušujte, až kým nedosiahnete vzorec, ktorý poznáme pre výpočet uhlov.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||opasok(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||opasok(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||opasok(θ)
   • • = || a || || b ||opasok(θ)

Tipy

• Pre rýchle rozlíšenie použite nasledujúci vzorec na každú dvojrozmernú dvojicu vektorov: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (. (U₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ak pracujete s počítačovými grafickými programami, budete pravdepodobne potrebovať poznať iba smer vektorov, nie ich dĺžku. Zjednodušte rovnice a zrýchlite program podľa týchto krokov:
  • Normalizujte každý vektor, to znamená, nájdite jednotkový vektor, ktorý má rovnaký smer ako pôvodný vektor. Za týmto účelom rozdelte každú súčasť vektora vektorovým modulom.
  • Vypočítajte skalárny produkt normalizovaných vektorov, nie pôvodných vektorov.
  • Pretože modul (tj dĺžka) normalizovaných vektorov je jednotný, môžeme ich vynechať zo vzorca. Vaša konečná rovnica na výpočet uhlov bude oblúk (•).
• Na základe vzorca kosínskeho zákona môžeme rýchlo zistiť, či je daný uhol ostrý alebo tupý. Začnite s cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Ľavá a pravá strana rovnice musia mať rovnaké znamienko (kladné alebo záporné).
  • Pretože dĺžky sú vždy kladné, cosθ bude mať vždy rovnaké znamienko ako skalárny produkt.
  • Preto, ak je skalárny produkt pozitívny, cosθ bude pozitívny. To znamená, že uhol je v prvom kvadrante jednotkovej kružnice, tj 9 <π / 2 alebo 90 °. Preto je uhol ostrý.
  • Ak je skalárny produkt negatívny, cosθ je negatívny. To znamená, že uhol je v druhom kvadrante jednotkovej kružnice, to znamená π / 2 <θ ≤ π alebo 90 ° <θ ≤ 180 °. Preto je uhol tupý.